Co to jest centralne twierdzenie graniczne (CLT)?

Centralne twierdzenie graniczne (CLT) to koncepcja statystyczna, która stwierdza, że ​​średni rozkład próby zmiennej losowej zakłada rozkład prawie normalny lub normalny, jeśli wielkość próby jest wystarczająco duża. Mówiąc prościej, twierdzenie stwierdza, że ​​rozkład próbkowania średniej średniej średniej jest podstawowym pojęciem w matematyce i statystyce. Ogólnie rzecz biorąc, średnia odnosi się do średniej lub najczęstszej wartości w zbiorze podejść do rozkładu normalnego wraz ze wzrostem wielkości próby, niezależnie od kształtu pierwotnego rozkładu populacji.

Schemat centralnego twierdzenia granicznego (CLT) przedstawiający zbieżność do rozkładu normalnego

Gdy użytkownik zwiększa liczbę próbek do 30, 40, 50 itd., Wykres średnich próbek przesunie się w kierunku rozkładu normalnego. Wielkość próby musi wynosić 30 lub więcej, aby centralne twierdzenie graniczne było aktualne.

Jednym z najważniejszych elementów twierdzenia jest to, że średnia z próby będzie średnią z całej populacji. Jeśli obliczysz średnią z wielu próbek populacji, zsumujesz je i znajdziesz ich średnią, wynikiem będzie oszacowanie średniej populacji.

To samo dotyczy odchylenia standardowego Odchylenie standardowe Ze statystycznego punktu widzenia odchylenie standardowe zbioru danych jest miarą wielkości odchyleń między wartościami zawartych obserwacji. Jeśli obliczysz odchylenie standardowe wszystkich próbek w populacji, zsumujesz je i znajdziesz średnią, wynikiem będzie odchylenie standardowe całej populacji.

Jak działa centralne twierdzenie graniczne?

Podstawą rozkładu prawdopodobieństwa jest centralne twierdzenie graniczne. Ułatwia to zrozumienie, jak zachowują się oszacowania populacji po poddaniu ich wielokrotnemu próbkowaniu. Błąd typu II W testowaniu hipotez statystycznych błąd typu II to sytuacja, w której test hipotezy nie odrzuca hipotezy zerowej, która jest fałszywa. W innych . Po naniesieniu na wykres twierdzenie to przedstawia kształt rozkładu utworzonego za pomocą powtarzanych próbek populacji.

Wraz ze wzrostem wielkości próby rozkład średnich z powtarzanych próbek ma tendencję do normalizacji i przypominania rozkładu normalnego. Wynik pozostaje taki sam niezależnie od pierwotnego kształtu rozkładu. Można to zilustrować na poniższym rysunku:

Centralne twierdzenie graniczne (CLT) - jak to powstaje

Z powyższego rysunku możemy wywnioskować, że pomimo tego, że pierwotny kształt rozkładu był jednorodny, zmierza on w kierunku rozkładu normalnego wraz ze wzrostem wartości n (wielkość próby).

Oprócz pokazania kształtu, jaki przyjmie średnie próbki, centralne twierdzenie graniczne daje również przegląd średniej i wariancji rozkładu. Średnia próby rozkładu to rzeczywista średnia populacji, z której pobrano próbki.

Z drugiej strony, wariancja rozkładu próby to wariancja populacji podzielona przez n . Dlatego im większy rozmiar próby rozkładu, tym mniejsza wariancja średniej próby.

Przykład centralnego twierdzenia granicznego

Inwestor jest zainteresowany oszacowaniem zwrotu z indeksu giełdowego ABC, na który składa się 100 000 akcji. Ze względu na duży rozmiar indeksu Dow Jones Industrial Average (DJIA) Dow Jones Industrial Average (DJIA), powszechnie określany również jako „Dow Jones” lub po prostu „Dow”, jest jednym z najpopularniejszych i najbardziej rozpowszechnionych uznanych indeksów giełdowych, inwestor nie jest w stanie przeanalizować każdej akcji niezależnie i zamiast tego wybiera losowe próbkowanie, aby uzyskać szacunkowy całkowity zwrot indeksu.

Inwestor wybiera losowe próbki zapasów, przy czym każda próbka obejmuje co najmniej 30 zapasów. Próbki muszą być losowe, a wszystkie wcześniej wybrane próbki muszą zostać zastąpione w kolejnych próbkach, aby uniknąć stronniczości.

Jeśli pierwsza próbka daje średni zwrot 7,5%, następna próbka może dać średni zwrot 7,8%. Ze względu na charakter losowego pobierania próbek każda próbka da inny wynik. W miarę zwiększania wielkości próby z każdą wybraną próbką średnie z próby zaczną tworzyć własne rozkłady.

Rozkład średnich z próby będzie zbliżał się do normy wraz ze wzrostem wartości n. Średni zwrot z akcji w indeksie próbki szacuje zwrot całego indeksu 100 000 akcji, a średni zwrot jest normalny.

Historia centralnego twierdzenia granicznego

Pierwotna wersja centralnego twierdzenia granicznego została wymyślona przez Abrahama De Moivre, matematyka urodzonego we Francji. W artykule opublikowanym w 1733 roku De Moivre użył rozkładu normalnego, aby obliczyć liczbę orłów wynikającą z wielokrotnych rzutów monetą. Pomysł był wówczas niepopularny i szybko został zapomniany.

Jednak w 1812 roku koncepcja została ponownie wprowadzona przez Pierre-Simona Laplace'a, innego słynnego francuskiego matematyka. Laplace ponownie wprowadził koncepcję rozkładu normalnego w swojej pracy zatytułowanej „Théorie Analytique des Probabilités”, w której próbował przybliżyć rozkład dwumianowy z rozkładem normalnym.

Matematyk odkrył, że średnia niezależnych zmiennych losowych, gdy wzrasta, ma tendencję do podążania za rozkładem normalnym. W tym czasie ustalenia Laplace'a dotyczące centralnego twierdzenia granicznego przyciągnęły uwagę innych teoretyków i naukowców.

Później w 1901 r. Centralne twierdzenie graniczne zostało rozszerzone przez rosyjskiego matematyka Aleksandra Lapunowa. Lapunow poszedł o krok do przodu, aby zdefiniować pojęcie w kategoriach ogólnych i udowodnić, jak to pojęcie działało matematycznie. Charakterystyczne funkcje, których użył do sformułowania twierdzenia, zostały przyjęte we współczesnej teorii prawdopodobieństwa.

Powiązane odczyty

Finance jest oficjalnym dostawcą globalnego programu Financial Modeling & Valuation Analyst (FMVA) ™ Certyfikat FMVA® Dołącz do ponad 350 600 studentów, którzy pracują dla firm takich jak Amazon, JP Morgan i Ferrari, program certyfikacji, który ma pomóc każdemu zostać światowej klasy analitykiem finansowym . Aby kontynuować naukę i rozwijać swoją karierę, przydatne będą poniższe dodatkowe zasoby finansowe:

  • Twierdzenie Bayesa Twierdzenie Bayesa W statystyce i teorii prawdopodobieństwa twierdzenie Bayesa (znane również jako reguła Bayesa) jest wzorem matematycznym używanym do określenia warunkowej
  • Tendencja centralna Tendencja centralna Tendencja centralna to opisowe podsumowanie zbioru danych za pomocą pojedynczej wartości, która odzwierciedla środek rozkładu danych. Wraz ze zmiennością
  • Prawo wielkich liczb Prawo wielkich liczb W statystyce i teorii prawdopodobieństwa, prawo wielkich liczb jest twierdzeniem opisującym wynik powtórzenia tego samego eksperymentu dużej liczby
  • Reguła całkowitego prawdopodobieństwa Reguła całkowitego prawdopodobieństwa Reguła całkowitego prawdopodobieństwa (znana również jako prawo całkowitego prawdopodobieństwa) jest podstawową regułą w statystyce odnoszącej się do warunkowych i krańcowych

Zalecane

Czy Crackstreams zostały zamknięte?
2022
Czy centrum dowodzenia MC jest bezpieczne?
2022
Czy Taliesin opuszcza kluczową rolę?
2022